Quantitative Beziehungen

1 Runden und signifikante Stellen
In diesem Kapitel wird geklärt mit wie vielen Stellen berechnete Resultate angegeben werden sollen.
Man spricht von signifikanten Stellen.
Die Anzahl der signifikanten Stellen einer Zahl ergibt sich wenn von links nach rechts von der ersten, von null verschiedenen Ziffer, alle Ziffern bis zur letzten abgezählt werden.

Beispiele
0,0034 g2 signifikante Stellen
0,230 g3 signifikante Stellen
3,400 g4 signifikante Stellen
32,2 · 1033 signifikante Stellen
        
0,003040 gsignifikante Stellen
000,2030 gsignifikante Stellen
030,0400 gsignifikante Stellen
32,020 · 10−3signifikante Stellen

Resultate müssen auf eine sinnvolle Anzahl von signifikanten Stellen gerundet werden, dabei gilt die Regel
Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 0, 1, 2, 3 oder 4, wird die Ziffer der letzten signifikanten Stelle beibehalten.
Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 5, 6, 7, 8 oder 9, wird die Ziffer der letzten signifikanten Stelle um eins erhöht.

Beispiele
3,4569gerundet auf drei signifikante Stellen ergibt3,46
3,23425   gerundet auf drei Nachkommastellen ergibt   3,234
4,650gerundet auf zwei signifikante Stellen ergibt4,7
4,35gerundet auf zwei signifikante Stellen ergibt4,4

Genaue Zahlen entstehen aus dem Abzählen von Objekten oder sind als genau definiert. Genaue Zahlen sind nicht gerundet. Auf genauen Zahlen gibt es keine Unsicherheit. Bei der Festlegung der signifikanten Stellen eines Resultats aus einer Berechnung finden diese keine Beachtung.

In der Praxis bestehen die Berechnungen fast ausschliesslich aus Additionen/Subtraktionen oder Multiplikationen/Divisionen.
1. Das Ergebnis einer Addition oder Subtraktion ('Strichrechnen') erhält so viele Nachkommastellen wie die Zahl mit den wenigsten Nachkommastellen.

Beispiele
0,11  +  13,4  +  1,1234  =  14,6
  Nachkommastellen   2 1 4 1

13  −  2,1  +  4,23  =  15
  Nachkommastellen   0 1 2 0
        
720,01  +  17,705  −  25  =          
  Nachkommastellen  

1,3  −  2,10  +  24,235  =          
  Nachkommastellen  

Bei der wissenschaftlichen Schreibweise müssen die Zehnerpotenzen aller zu addierenden oder subtrahierenden Zahlenwerte an die größte Zehnerpotenz angepasst werden.

Beispiel
2,5 · 103  +  2,5  +  2,5 · 102  =  ?
2,5 · 103  +  0,0025 · 103  +  0,25 · 103  =  2,8 · 103
  Nachkommastellen   1 4 2 1

2. Das Ergebnis einer Multiplikation oder Division ('Punktrechnen') erhält so viele signifikante Stellen wie die Zahl mit den wenigsten signifikanten Stellen.

Beispiele
0,10  ·  13,4  =  1,3
  signifikante Stellen   2 3 2

13,23  /  2,0  =  6,6
  signifikante Stellen   4 2 2

2,5 · 103  ·  1,23  =  3,1 · 103
  signifikante Stellen   2 3 2
        
1,010  ·  18,40  =          
  signifikante Stellen  

20,0  /  3,0  =          
  signifikante Stellen  

1,250 · 10−2  ·  100,0  =          
  signifikante Stellen  

Aufgaben
1. Zählen Sie die signifikanten Stellen.   
(a) 1 060 501 km (e) 180 701 g
(b) 0,0020 m (f) 0,001 040 m
(c) 0,000 000 04 s (g) 0,005 71 km
(d) 0,001 190 m (h) 36 200 ha








2. Runden Sie auf zwei signifikante Stellen.   
(a) 1 593,852 (b) 6,733 (c) 36,334 (d) 230,850








3. Runden Sie auf drei signifikante Stellen.   
(a) 32 234,8 (b) 2,346 · 105 (c) 327,349 (d) 0,08991








4. Berechnen und runden Sie das Resultat.   
(a) 10,234 / 4,97 (c) 27,54 · 3,342 / 203,02
(b) 1,4 · 0,03060 · 12,69 (d) (0,2 · 10) / (6,71·104)














5. Berechnen und runden Sie das Resultat.   
(a) 10,34 - 2,7862 (c) 19,6 + 58,33 - 4,974
(b) 14 + 2,838 + 2,3 + 211,33 (d) 0,44 + 200














6. Berechnen und runden Sie das Resultat.   
(a) (24,6681 · 2) + 332 (c) (521 · 28,7) + 5,345
(b) (85,3 - 0,189) · 0,02 (d) (28,70·105) / 48,533











7. Berechnen Sie das Volumen eines Raumes der Höhe 315 cm, der Länge 7,2 m und der Breite 5,32 m.   









8. Wandeln Sie einen Druck von 1,267 atm in Torr um, wissend dass 760 Torr (Torricelli) definitionsgemäß genau einer atm (physikalische Atmosphäre) entsprechen.   






9. Ein Mann 'wiegt' 81 kg. Er nimmt 250 g zu. Berechnen Sie seine Masse.   






10. Eine Gasmaus hat ein Volumen von 100,0 ml und leergesaugt eine Masse von 123,45 g. Mit einem Gas gefüllt wiegt sie 123,67 g. Berechnen Sie die Dichte des Gases in g/L.   









11. 100 Sechskantstahlschrauben M8 14 mm haben ein Masse von 1,05 kg. Berechnen Sie die Masse von 23 Schrauben.   

2 Quantitative Beziehungen für Lösungen

2.1 Lösungen

Lösungen (Ls) sind homogene Gemische bestehend aus einem flüssigen Lösungsmittel (Lm) und aus mindestens einem vollständig gelösten Reinstoff (X) der rein als Feststoff, Flüssigkeit oder Gas vorliegt.

Molekulare Stoffe liegen in wässriger Lösung als solvatisierte Moleküle vor.
Ethanol:CH3CH2OH(l) → CH3CH2OH(aq)
Zucker:C12H22O11
Sauerstoff:
Ethansäure in Wasser:CH3COOH
Chlor in Wasser:
Ammoniak in Wasser:

Ionische Verbindungen liegen in Lösung als solvatisierte Ionen vor.
Kochsalz in Wasser:
Calciumchlorid in Wasser:
Kupfer(II)-sulfatpentahydrat:
Natriumcarbonat in Wasser:
Natriumhydroxid:

Gelöste Moleküle oder Ionen können mit dem Lösungsmittel reagieren. Es entstehen neue Stoffe.
Wässrige Lösung von Ammoniak:
Wässrige Lösung von Essigsäure:
Wässrige Lösung des Carbonat-Ions:

Aufgabe
Geben Sie die Lösungsgleichung von Chlorwasserstoff in Wasser an. Zeigen Sie dann in einer zweiten Gleichung wie der gelöste Chlorwasserstoff mit dem Lösungsmittel reagiert.

2.2 Gehaltsangaben für Lösungen

Massenanteil w
w(X) =

 m(X) 

 m(Ls) 
  

m(X):

  Masse des gelösten Stoffs

m(Ls):

  Masse der Lösung  

w(X):

  Massenanteil des gelösten Stoffs  

Der Massenanteil ist eine dimensionslose Größe, also eine Zahl, die Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann.
Sie kann aus praktischen Gründen als
% (Prozent, = 10-2), ‰ (promille, = 10-3) oder ppm (parts per million, = 10-6) angegeben werden.

Massenkonzentration β
β(X) =

 m(X) 

 V(Ls) 
  

m(X):

  Masse des gelösten Stoffs

V(Ls):

  Volumen der Lösung

β(X):

  Massenkonzentration 

Die gängigen Einheiten für die Massenkonzentration sind g/L; mg/L; µg/L; ... Die Volumeneinheit ist normalerweise das Liter.

Achtung! ρ nicht mit β verwechseln.
ρ steht für die Dichte eines Reinstoffes oder Gemisches. Dabei kann es sich um die Dichte des Lösungsmittels ρ(Lm) oder des gelösten Reinstoffes ρ(X) vor dem Lösen handeln oder auch um die Dichte der fertigen Lösung ρ(Ls).

ρ(X) =

 m(X) 

 V(X) 
  

m(X):

  Masse von X (Reinstoff oder Gemisch)

V(X):

  Volumen von X

ρ(X):

  Dichte 

Gängige Einheiten für die Dichte:
- in der Physik kg/m3 (SI Einheit)
- in der Chemie g/mL (Flüssigkeiten und Feststoffe) und g/L (Gase)

Stoffmengenkonzentration c
c(X) =

 n(X) 

 V(Ls) 
  

n(X):

  Stoffmenge des gelösten Stoffs

V(Ls):

  Volumen der Lösung

c(X):

  Stoffmengenkonzentration 

Die gängigen Einheiten für die Massenkonzentration sind mol/L; mmol/L; µmol/L;... Die Volumeneinheit ist normalerweise das Liter.

Aufgaben   


1. Vervollständigen Sie folgende Tabelle indem Sie die Formel für die Berechnung der Größen der ersten Spalte aus den jeweiligen Größen der folgenden Spalten einsetzen. Falls notwendig sollen M(X) und ρ(Ls) verwendet werden. 
Berechnung von: aus w(X) aus c(X) aus β(X)
w(X) /

(a)

(b)
c(X)

(c)		 /

(d)
β(X)

(e)

(f)		 /
























2. In 250 mL Kalkwasser sind 215 mg Calciumhydroxid gelöst. Berechnen Sie die Stoffmengen-konzentration der Lösung.   












3. Aus 10 mmol/L Kalkwasser werden 10,0 mL pipettiert und in einem 250,0 mL Messkolben mit Wasser aufgefüllt. Berechnen Sie die Stoffmengenkonzentration der Hydroxid-Ionen in der verdünnten Lösung.     


















4. Berechnen Sie die Stoffmengen- und Massenkonzentration einer 30 %igen Salzsäure (Dichte = 1,14 g/mL).   


















5. Berechnen Sie welche Masse an Kupfer(II)-sulfatpentahydrat eingewogen werden muss um 50,0 mL einer 1,25 M Kupfer(II)-sulfat-Lösung herzustellen.     











6. Welches Volumen Salzsäure (36%, ρ = 1,179 g · mL-1) wird benötigt um 2,0 L 1,5 M Salzsäure herzustellen?       





















7. Berechnen Sie die Stoffmengenkonzentration der Hydroxid-Ionen eines Barytwassers (Bariumhydroxid-Lösung). In 500 mL Lösung sind 1,425 g reiner Feststoff gelöst.    

















8. Calciumoxid reagiert mit Wasser zu Caciumhydroxid: CaO(s) + H2O(l) → Ca(OH)2(aq)
In destilliertem Wasser werden 187 mg Calciumoxid und 374 mg Kaliumhydroxid aufgelöst. Dann wird genügend destilliertes Wasser hinzugefügt bis man 250 mL Lösung erhält.
Berechnen Sie die Stoffmengenkonzentration der Hydroxid-Ionen des Gemisches.   


















9. Ein Ammoniakwasser hat einen Massenanteil von 25,3% und eine Stoffmengenkonzentration von 13,5 mol/L. Berechnen Sie die Dichte dieser Lösung.   













10. 250,0 g einer konzentrierten Essigsäure enthalten 237,5 g Eisessig (CH3COOH) und die Dichte beträgt 1,060 g/mL. Berechnen Sie den Massenanteil, die Massenkonzentration und die Stoffmengenkonzentration.    


















11. Kreuzen Sie die zutreffende Antwort an. Nur eine ist Antwort ist korrekt. 

a. Ein Massenanteil von w = 0,000071 entspricht einem Massenanteil von:
▢ A     0,071 %
▢ B     0,0071 ‰
▢ C     71 ppm (parts per million)
▢ D     0,71 %


b. Eine Salpetersäure (c = 0,025 M) entspricht einer Massenkonzentration:
▢ A     β von 1,575 g/L
▢ B     β von 1,575 g/mL
▢ C     β von 1,757 g/L
▢ D     Mk von 1,575 g/L


c. Ein Kalkwasser (c = 2,5 . 10-5 M) entspricht einer Massenkonzentration an Hydroxid-Ionen von:
▢ A     1,8525 mg/L
▢ B     0,85 mg/L
▢ C     0,425 mg/L
▢ D     0,85 g/L


d. Ein Ammoniakwasser (w = 20 %; ρ = 0,925 g/mL) entspricht einer Stoffmengenkonzentration von:
▢ A     ≈ 1,2 mol/L
▢ B     ≈ 54 mol/L
▢ C     ≈ 11 mol/L
▢ D     ≈ 11 mol/cm3


e. Die Stoffmengenkonzentration an Nitrat-Ionen in einem Gemisch aus 100 mL Natriumnitrat 0,1 M und 300 mL Magnesiumnitrat 0,3 M beträgt:
▢ A     0,2 mol/L
▢ B     0,4 mol/L
▢ C     0,25 mol/L
▢ D     0,475 mol/L



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